Dans cette présentation, « Beaucoup. Élément de l'Ensemble » Les élèves de 7e année pourront examiner en détail la signification des concepts du même nom en mathématiques. Après la page de titre avec le titre du sujet sur la 2ème diapositive, des exemples d'ensembles sont donnés. En fait, il peut y en avoir un grand nombre, mais ce n'est pas l'essentiel. Ces exemples permettent aux élèves de comprendre qu'un ensemble est avant tout un groupe d'objets similaires, réunis en un tout et, par conséquent, il porte un nom cohérent.

slides 1-2 (Sujet de présentation "Set. Set element", exemple)

La troisième diapositive explique que l'ensemble peut être utilisé avec des nombres pairs, naturels et fractionnaires. Un exemple spécifique est fourni pour chaque situation. Dans la même section, à l'aide d'une illustration d'un pentagone, il est expliqué ce qu'est un élément d'un ensemble. Cette présentation visuelle du matériel permet aux étudiants d'imaginer plus facilement des concepts abstraits du sujet.

Ensuite, une diapositive distincte est consacrée à l'ensemble des nombres premiers. Pour une meilleure compréhension de ce matériau, plusieurs exemples sont donnés dans lesquels des nombres premiers sont enfermés dans un ensemble donné. Cela est nécessaire pour que l'élève apprenne qu'un ensemble peut contenir un ou plusieurs nombres premiers, ou qu'il peut ne pas y avoir un seul nombre premier. En conséquence, la conversation se résume au fait qu'en mathématiques, il existe un autre concept appelé ensemble "vide".

diapositives 3-4 (exemples. définition du diviseur)

La diapositive suivante montre brièvement à l'aide d'illustrations la désignation correcte de l'ensemble. Il peut être écrit à la fois sous forme alphabétique et numérique, en fonction des éléments spécifiés de l'ensemble.

Ce qui suit dans la présentation pédagogique est des informations sur d'autres types d'ensemble. Il peut également être utilisé avec des nombres entiers, des nombres naturels et des nombres rationnels. Dans les exemples donnés sur cette diapositive, vous pouvez facilement comprendre comment considérer des éléments appartenant à un ensemble, ou, au contraire, n'appartenant pas.

diapositives 5-6 (exemples)

Ensuite, nous allons nous concentrer sur les propriétés de l'ensemble. Au cours du processus de présentation de ce matériel aux écoliers, il sera facile d'expliquer quelle est l'essence d'un concept tel que «propriété caractéristique d'un ensemble». Afin que les écoliers aient l'opportunité de se souvenir plus précisément de la définition de ce phénomène mathématique, un décryptage de sa signification sera donné sur la diapositive de présentation.

Ceci est suivi d'un exemple d'écriture brève d'un ensemble de nombres donnés. Dans cet exemple, les 14 nombres entiers sont donnés. De plus, on explique à l'élève comment il peut être décrit sous une forme abrégée qu'un ensemble peut être supérieur ou inférieur à un nombre naturel qui dépasse ses limites.

diapositives 7-8 (définition des propriétés caractéristiques, exemples, questions)

Après avoir compris le matériel ci-dessus, les étudiants apprennent à écrire l'ensemble avec les variables données. La diapositive suivante montre un exemple complètement différent. Il traite de nombreux multiples. L'exemple contient 5 nombres qui sont des multiples de 5. Et en dessous d'eux il y a une expression avec des variables correspondant à cet ensemble.

diapositives 9-10 (définition des propriétés caractéristiques, exemples, questions)

La dernière diapositive de la présentation permet ensuite aux élèves de résoudre un problème plus difficile. Tout d'abord, une expression est donnée avec les variables de l'ensemble C, et en dessous se trouve l'expression numérique de l'ensemble D. L'essence de cette tâche est que vous devez trouver une expression numérique de l'ensemble C, en tenant compte du fait que les deux ensembles sont égaux, c'est-à-dire qu'ils ont les mêmes éléments de l'ensemble.

Une fois que les élèves ont fait face à la tâche assignée, la présentation de la leçon «Set. Set Element » sera complété et les étudiants pourront commencer à poser des questions sur le matériel qu'ils ont couvert. Ce type de cours deviendra un outil assez efficace utilisé dans les programmes d'études sur le thème des « Mathématiques » en raison de sa simplicité et de sa clarté.

Les ensembles sont généralement désignés par de grands
lettres : A, B, X N, ..., et leurs éléments -
lettres minuscules correspondantes : a, b, x, n...
En particulier, les désignations suivantes sont adoptées :
ℕ - ensemble de nombres naturels;
ℤ - un ensemble d'entiers ;
ℚ - l'ensemble des nombres rationnels ;
ℝ - un ensemble de nombres réels (numériques
droit).
- un ensemble de nombres complexes. Et à droite
Suivant:
N Z Q R C

En règle générale, les éléments de l'ensemble sont notés
en minuscules, et les décors eux-mêmes - en gros.
Affiliation
élément
m
la multitude
M
noté : m M, où le signe est
styliser la première lettre d'un mot grec
(est, être),
marque de non-affiliation :

Les ensembles peuvent être finis, infinis et
vide.
Un ensemble contenant un nombre fini d'éléments,
appelé finale.
Si l'ensemble ne contient aucun élément, alors
il est dit vide et noté Ø.
Par exemple:
beaucoup d'étudiants de 1ère année - un ensemble fini ;
beaucoup d'étoiles dans l'univers - infini
un tas de;
un tas de
étudiants,
D'accord
bien informé
Trois
étranger
Langue
(Japonais,
chinois
et
français) est apparemment un ensemble vide.

Méthodes de définition des ensembles

Il existe trois façons de définir des ensembles :
1) description de l'ensemble
Exemples : Y = (yΙ1≤y ≤10) - l'ensemble des valeurs y de
segment
X = (xIx> 2) est l'ensemble de tous les nombres x supérieurs à 2.
2) énumération de l'ensemble
Exemples:
A = (a, b, c) - trois lettres initiales du russe
alphabet
N = (1,2,3 ...) -nombres naturels
3) le réglage graphique des ensembles se produit avec
en utilisant les diagrammes d'Euler-Venn

Deux ensembles sont proposés :
et
S'il y a peu d'éléments de l'ensemble, alors
ils peuvent être indiqués explicitement dans le schéma.

L'ensemble A est appelé un sous-ensemble de l'ensemble B
(noté AB), si un élément
l'ensemble A est un élément de l'ensemble B :
voir figure 1.1
Riz. 1.1
On dit que B contient A, ou B recouvre A
Non inclusion de l'ensemble C dans l'ensemble B,
noté comme suit :

Les ensembles A et B sont égaux (A = B) si et seulement
quand, AB et BA, c'est-à-dire les éléments des ensembles
A et B sont identiques.
Exemple : A = (1,2,3), B = (3,2,1), C = (1,2,3,3) - sont égaux.
L'ensemble C est l'ensemble A, uniquement dans celui-ci
le point 3 est écrit deux fois.
Exemple : A = (1,2), B = (1,2,3) - PAS ÉGAL
Une famille d'ensembles est un ensemble
dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles.
Exemple : A = ((Ø), (1,2), (3,4,5)) - une famille composée de
de trois ensembles.
Chaque sous-ensemble non vide A Ø a
au moins deux sous-ensembles distincts : self
définir A et Ø.

Un tas de
UNE
appelé
propre
sous-ensemble de l'ensemble B, si AB, et B A.
Il est désigné comme suit : A B.
Par exemple,
Il est généralement admis que l'ensemble vide est
un sous-ensemble de n'importe quel ensemble.
La cardinalité d'un ensemble fini M est le nombre
ses éléments. Dénoté par M
Par exemple, B = 6. A = 3.

Définir les opérations

L'union (somme) des ensembles A et B
(noté AB) appelé l'ensemble C ceux
éléments, dont chacun appartient cependant
serait l'un des ensembles A ou B. Il y a trois
Cas:
1) A = B ;
2) les ensembles ont des éléments communs ;
3) les ensembles n'ont pas d'éléments communs.
Exemples:
1) A = (1,2,3), B = (1,2,3), puis A B = (1,2,3).

A B = (1,2,3,4,5,6)
3) A = (1,2,3), B = (4,6,8), puis A B = (1,2,3,4,6,8)

Les cas considérés sont clairement
illustré sur la figure
UN B
UNE
V
UNE
V

Intersection des ensembles A et B
le nouvel ensemble C est appelé,
qui se compose uniquement d'éléments
possédé en même temps
ensembles A, B
Désignation C = A B
Trois cas sont possibles :
1) A = B
2) les ensembles ont des éléments communs
3) les ensembles n'ont pas de commun
éléments.

Exemples:
1) A = (1,2,3), B = (1,2,3), puis A B =
{1,2,3}.
2) A = (1,2,3), B = (2,3,4,5,6), alors
A B = (2,3)
3) A = (1,2,3), B = (4,6,8), puis A B =

La différence des ensembles A et B est appelée
ensemble C constitué d'éléments
n'appartenant qu'à l'ensemble A et
n'appartenant pas à V.
Désignation : C = A \ B

Deux ensembles sont proposés :
A = (1,2,3, b, c, d), B = (2, b, d, 3).
Puis:
A B = (1,2,3, b, c, d)
B sous-ensemble A
A / B = (1, c)
A B = (2,3, b, d)

Propriétés:
1. Commutativité de l'union А B = B A
2. Commutativité de l'intersection А В = В А
3. Loi de combinaison A (B C) = B (A C)
4. De même pour l'intersection.
5. Jonction par rapport à l'intersection
A (B C) = A B A C
6. Distributeur concernant l'association
A (B C) = (A B) (A C)
7. Loi d'absorption A (A B) = A
8. Loi d'absorption А (А B) = A
9.A A = A
10.A A = A

Le produit cartésien (direct) de A et B est
un nouvel ensemble C composé de
paires dans lesquelles le premier élément de la paire est tiré de
l'ensemble A, et le second de B.
A = (1,2,3)
B = (4,5)
C = AB = ((1,4) ; (1,5 ); (2,4 ; (2,5 ); (3,4 ; (3,5))
La puissance du produit cartésien est
le produit des cardinalités des ensembles A et B :
A B = A B

A B B A, sauf si A = B (dans ce cas
l'égalité est respectée)
Donné:
Coordonnée axe numérique .х (-, +).
Coordonnée axe numérique Y.y (-, +).
D = X Y
Produit cartésien de deux axes - point
en surface.
Considérons un produit cartésien,
qui a la propriété
commutativité. A = (Ivanov, Petrov)
B = (grand, mince, fort)
A B = Ivanov est grand, Ivanov est mince,
Ivanov est fort, Petrov est grand, Petrov
mince, Petrov fort

JE. Le concept d'ensemble.

La théorie des ensembles est née le 7 décembre 1873. Le fondateur de cette théorie est le mathématicien et philosophe allemand Georg Cantor (1845-1918). Il s'est intéressé à la question, quels nombres sont plus - naturels ou réels ? Dans une des lettres adressées à son ami Richard Dedekind, Cantor écrivait qu'il était capable de prouver au moyen d'ensembles qu'il existe plus de nombres réels que de nombres naturels. Le jour où cette lettre a été datée est considéré par les mathématiciens comme l'anniversaire de la théorie des ensembles.

Quels sont les ensembles après tout? « Plusieurs sont plusieurs, concevables comme un » (G. Kantor). Le concept d'ensemble est si simple, accepté dans la vie de tous les jours et transféré aux mathématiques, qu'il n'est pas défini, mais peut être expliqué à l'aide d'exemples : beaucoup de villes, beaucoup d'états, beaucoup d'étudiants. Les objets, les objets qui forment un ensemble donné s'appellent ça éléments... En mathématiques, seuls les ensembles qui ont des propriétés clairement définies sont considérés, constitués d'éléments qui ont des propriétés communes.

Il existe plusieurs manières de désigner les ensembles. Vous pouvez réécrire tous les éléments d'un ensemble entre accolades.

En même temps, nous pouvons clairement voir de quels éléments l'ensemble est composé. Mais cette notation est gênante pour décrire des ensembles avec un grand nombre d'éléments ou des ensembles dont le nombre d'éléments ne peut être dénombré en entier, c'est-à-dire des ensembles infinis. Par exemple, il est impossible d'écrire tous les éléments d'un ensemble de nombres divisibles par 10. Dans ce cas, l'ensemble s'écrit ainsi :

.

Pour la commodité de travailler avec des ensembles, ils sont désignés par une lettre majuscule.

S'il n'y a pas d'éléments dans l'ensemble, alors il est appelé ensemble vide et indiqué par ? ... Par exemple, une multitude de baleines ailées, il y a une multitude vide.

Les ensembles eux-mêmes peuvent également être des éléments de l'ensemble

Qu'un ensemble soit donné. L'élément 3 appartient à l'ensemble V, il est noté comme suit. L'élément 8 n'appartient pas à l'ensemble V, c'est indiqué.

Des exercices

II. Égalité des ensembles.

Une caractéristique très importante de l'ensemble est qu'il n'y a pas d'éléments identiques, ou plutôt, qu'ils sont tous différents les uns des autres. Cela signifie que vous pouvez écrire autant d'éléments identiques que vous le souhaitez, mais ils apparaîtront comme un seul. C'est-à-dire qu'un ensemble ne peut pas contenir les mêmes éléments dans plusieurs variantes. Supposons que nous ayons écrit un ensemble. Dans cet ensemble, l'élément 7 est répété plusieurs fois, mais nous le considérerons comme un. Par conséquent, notre multitude le sera.

Considérons deux ensembles et. Ces ensembles sont constitués des mêmes éléments, bien qu'ils soient écrits dans un ordre différent. De tels ensembles sont appelés égaux. Donc deux les ensembles sont égaux s'ils contiennent les mêmes éléments.

Des exercices

III. Sous-ensemble.

Considérez plusieurs jours dans une semaine. Écrivons-le.

Nous allons maintenant sélectionner uniquement les jours ouvrables. Ils composent la multitude.

Voyons dans quel rapport l'ensemble R, compte tenu de ses éléments, par rapport à l'ensemble S... On voit que tous les éléments de l'ensemble R sont inclus dans de nombreux S... Par conséquent, l'ensemble R fait partie de l'ensemble S ou sous-ensemble... Par conséquent, si chaqueélément d'un ensemble R est en même temps un élément de l'ensemble S, alors on peut dire que R – sous-ensemble multitudes S... Il est noté comme suit. L'ensemble lui-même S est aussi un sous-ensemble de lui-même. Il est très important de noter que l'ensemble vide est un sous-ensemble de chaque ensemble. Donc, si nous devons écrire tous les sous-ensembles d'un ensemble, nous écrirons :.

Des exercices

1. Ensembles donnés :

1. un tas de UNE Les élèves de 5e année de notre école ;
2. un tas de V tous les élèves de notre école ;
3. un tas de AVEC Les élèves de 5e année de notre école visitant la piscine ;
4. un tas de E tous les écoliers de la ville de Novokuznetsk ;
5. un tas de Àélèves de la 5e classe de mathématiques de notre école.

Est-il vrai que:

1. un tas de UNE est un sous-ensemble de l'ensemble V;
2. un tas de UNE est un sous-ensemble de l'ensemble À;
3. un tas de V est un sous-ensemble de l'ensemble E;
4. un tas de À est un sous-ensemble de l'ensemble AVEC;

À l'aide du signe I, écrivez les noms des ensembles dans un ordre tel que chaque ensemble suivant soit un sous-ensemble de l'ensemble précédent.

2. Pour l'ensemble notez tous les sous-ensembles de celui-ci.

IV. Intersection de plusieurs.

Considérons deux ensembles et ... Composons un nouvel ensemble AVEC, dans laquelle on écrit les éléments communs des ensembles UNE et V... Ils ont donc les éléments 5 et 6 en commun. Un tas de AVEC appelé traversée ensembles UNE et V... Il est noté comme suit :

L'intersection des ensembles A et B est un nouvel ensemble contenant ceux et seulement ces éléments qui appartiennent simultanément à l'ensemble A et à l'ensemble B.

Laisser R- de nombreux élèves des classes de mathématiques de notre école, À- l'ensemble des élèves de cinquième année, puis (par l'intersection des ensembles R et À) il y aura beaucoup d'élèves en cinquième année de mathématiques.

Les ensembles et n'ont pas d'élément commun, par conséquent, leur intersection est l'ensemble vide O

Des exercices

1. Les ensembles sont donnés. Trouver un); b); v) ; G) .

2. Trouvez si a); b)

V. Union d'ensembles.

Prenons les deux mêmes ensembles et . Composons maintenant l'ensemble E comme suit - on y écrit les éléments qui appartiennent à au moins un des ensembles UNE et V... Nous obtenons un ensemble. Un tas de E appelée union d'ensembles UNE et V... Dénoté

L'union des ensembles A et B est un nouvel ensemble constitué de ceux et seulement de ces éléments qui appartiennent à au moins un des ensembles A ou B.

Des exercices

1. Les ensembles sont donnés. Trouver: une) ; b) ; v) ; g) .

2. Trouvez si et.

3. Les ensembles sont donnés. Trouver: une) ; b) ; v) ;
g) .

Vi. Différence d'ensembles.

Prenons les ensembles déjà familiers et . Composons un nouvel ensemble F dans lequel on écrit les éléments de l'ensemble UNE non inclus dans l'ensemble V... ... Un tas de F s'appelle la différence d'ensemble UNE et V... Dénoté UNE\ V= F.

La différence de deux ensembles A et B est un ensemble qui comprend tous les éléments de l'ensemble A qui n'appartiennent pas à l'ensemble B.

Il est important de noter que lors de la soustraction d'ensembles, vous ne pouvez pas les échanger. Quand trouver la différence V\ UNE dans le nouvel ensemble nous écrirons les éléments de l'ensemble V qui n'appartiennent pas à l'ensemble UNE. Veux dire V\UNE =.

Des exercices

Des ensembles sont donnés. Trouver un); b); v) ; G) .

Trouver et si et.

Des ensembles sont donnés. Trouver un); b); v) ;
G)

VII. Les cercles d'Euler.

L'un des plus grands mathématiciens de l'Académie de Saint-Pétersbourg, Leonard Euler (1707-1783), a écrit plus de 850 articles scientifiques au cours de sa longue vie. Dans l'un d'eux, des cercles sont apparus, qui "sont très appropriés pour faciliter notre réflexion". Ces cercles sont appelés cercles d'Euler... A l'aide de ces cercles, il est commode d'illustrer géométriquement les opérations sur les ensembles. Les figures montrent des illustrations d'actions sur des plateaux. Vous pouvez dessiner non seulement des cercles, mais aussi des ovales, des rectangles et d'autres formes géométriques. les mecs. À l'intérieur du cercle « mathématiques » M il y a 20 enfants, ce qui veut dire que dans cette partie du cercle "biologique", qui est située à l'extérieur du cercle M, il y a des biologistes qui ne fréquentent pas le cercle mathématique. Le reste des biologistes, leur peuple, sont dans la partie commune des cercles Mo... Ainsi, 6 biologistes sont friands de mathématiques.

Réponse. 6 biologistes aiment les mathématiques .

Des exercices

1. Il y a 29 élèves dans la classe. Chacun d'eux apprend au moins une langue - l'anglais ou l'allemand. 18 personnes étudient l'anglais, 15 personnes étudient l'allemand. Combien de personnes apprennent deux langues, l'allemand et l'anglais ?
2. Il y a 29 élèves dans la classe. Parmi eux, 16 sont engagés dans la musique, 21 fréquentent un cercle mathématique ; 4 n'étudient pas la musique et n'assistent pas à un cours de mathématiques. Combien d'élèves assistent uniquement aux cours de mathématiques ? Combien de mathématiciens étudient aussi la musique ?
3. Il y a 70 enfants dans le camp des pionniers. Parmi eux, 27 sont engagés dans le club de théâtre, 32 chantent dans la chorale, 22 sont passionnés de sport. Dans le cercle de théâtre il y a 10 enfants de la chorale, dans la chorale il y a 6 athlètes, dans le cercle de théâtre il y a 8 athlètes ; 3 athlètes fréquentent à la fois le club de théâtre et la chorale. Combien de gars ne chantent pas, ne font pas de sport, ne font pas de club de théâtre ? Combien de gars ne font que du sport ?
4. Il y a 38 personnes dans la classe. Parmi ceux-ci, 16 personnes jouent au basket-ball, 17 personnes au hockey, 18 personnes au volley-ball. Ils aiment deux sports - basket-ball et hockey 4 personnes, basket-ball et volley-ball 3 personnes, volley-ball et hockey 5 personnes. Trois d'entre eux n'aiment pas le basket-ball, le volley-ball ou le hockey. Combien d'enfants sont friands de trois sports en même temps ?

Questions pour le test thématique sur le sujet
"Éléments de la théorie des ensembles"

Compétences requises : montrer l'intersection, l'union, la différence d'ensembles sur des cercles d'Euler ; trouver une intersection, une union, une différence d'ensembles, résoudre des exemples combinés ; résoudre les problèmes les plus simples à l'aide des cercles d'Euler.